|
|
Прогноз временных рядовЗадача по курсу "Социальное и экономическое прогнозирование" Заданы два ряда: y(t) - среднемесячные значения курса акций компании Y; x(t) - среднемесячные значения индекса деловой активности. Сделать прогноз значений y(11) b y(12): методом экстраполяции линейного тренда y(t) = a0 + a1t ; методом линейного сглаживания Брауна y(t) = a0 + a1k ; с помощью линейной регрессионной модели y(t) = a0 + a1x(t) , считая, что x(11) и x(12) заданы. Сопоставить точность полученных моделей прогнозирования по значениям средней, среднеквадратической и средней абсолютной процентной ошибки. Исходные данные представлены в таблице 1. Таблица 1 Вариант t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 y(t) 50 52 54 59 57 60 63 68 70 71 x(t) 25 27 30 31 35 41 42 45 47 49 50 52 Решение: 1. Производим расчёт тренда по методу линейной экстраполяции. Данная тенденция описывается следующей функцией: f(t) = a0 + a1t . Параметры а0 и а1 оцениваем при помощи метода наименьших квадратов (МНК), т.е. подбираем таким образом, чтобы график функции располагался на минимальном удалении от данных наблюдений. Приравниваем к нулю частные производные по а0 и а1 и получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными: Решаем эту систему и получаем параметры линейного роста: , , , где , . Расчёт параметров уравнения линейного тренда для прогнозирования среднемесячных значений курса акций компании производим в табличной форме (таблица 2). Таблица 2. Расчёт параметров уравнения линейного тренда № t yt t - tср (t - tср)2 y - yср (t-tср)/(y-yср) а0 + а1t E1 1 1 50 -4 16 -9,222 36,889 49,533 0,467 2 2 52 -3 9 -7,222 21,667 51,956 0,044 3 3 54 -2 4 -5,222 10,444 54,378 -0,378 4 4 59 -1 1 -0,222 0,222 56,800 2,200 5 5 57 0 0 -2,222 0,000 59,222 -2,222 6 6 60 1 1 0,778 0,778 61,644 -1,644 7 7 63 2 4 3,778 7,556 64,067 -1,067 8 8 68 3 9 8,778 26,333 66,489 1,511 9 9 70 4 16 10,778 43,111 68,911 1,089 10 10 71 5 25 11,778 58,889 71,333 -0,333 11 73,756 12 76,178 Итого 55 604 5 85 11,777 205,889 604,333 -0,333 Средние 5 59,222 6,666 16,333 59,222 0,000 В результате использования метода наименьших квадратов были получены следующие оценки параметров модели линейного тренда: а1 = 205,889 / 85 = 2,422 , а0 = 59,222 - 2,422 ? 5 = 47,111 . Искомая прогнозная функция: f(t) = 47,111 + 2,422 t Для оценки качества аппроксимации полученного уравнения тренда применяется коэффициент детерминации R2, который показывает какая доля вариации прогнозируемой результативной переменной y объясняется влиянием включенных в модель факторов, в данном случае фактором времени t . Коэффициент детерминации рассчитывается следующим образом: . Интервальная оценка прогноза получается исходя из точечной оценки, стандартной ошибки прогноза и значения t-статистики Стьюдента (tр) для заданной вероятности ошибки прогноза р. Стандартная ошибка прогноза определяется по формуле: . Здесь s - стандартная (средняя квадратическая) ошибка уравнения: . Абсолбтная величина доверительного интервала прогноза U(k) при вероятности ошибки p составит: . Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы: верхняя граница y(n+k) + U(k), нижняя граница y(n+k) - U(k) . Качество прогноза оценивается точностью, или степенью близости модели прогноза к фактическим данным и адекватностью, или соответствием модели и реального процесса по ряду статистических характеристик. В качестве показателей точности модели наиболее часто применяют среднеквадратическую ошибку (МSЕ), среднеквадратическое отклонение (S) и среднюю абсолютную процентную ошибку (МАРЕ). ; ; . Величина МАРЕ ? 5% свидетельствует о приемлемой точности прогноза экономического показателя. При МАРЕ ? 10% следует рассмотреть другие методы прогноза. Модель прогнозирования считается адекватной, если остатки Еt несмещены, случайны, независимы и нормально распределены. В том случае, когда ряд остатков обладает всеми указанными свойствами, можно построить интервальный прогноз, то есть указать верхнюю и нижнюю границы прогноза и вероятность попадания прогноза в интервал между верхним и нижним уровнем. Свойства случайности, независимости и нормальности устанавливаются с помощью различных статистических критериев. Несмещенность остатков обычно устанавливается на основе средней ошибки (МЕ) модели: . Модель признается несмещенной, если , где tp- табличное значение t-распределения Стьюдента. Случайность ряда остатков наиболее часто устанавливается с помощью критерия поворотных точек или критерия серий. В соответствии с критерием поворотных точек каждый уровень ряда сравнивается с двумя соседними. Если он больше или меньше их, то эта точка считается поворотной. Далее подсчитывается общее число поворотных точек р. В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство: , где квадратные скобки означают целую часть числа. Независимость (в первом приближении - отсутствие автокорреляции) устанавливается, например, применением d-критерия Дарбина - Уотсона или критерия первого коэффициента автокорреляции r(1),где коэффициент автокорреляции r (m) при сдвиге на m шагов вычисляется по формуле: . Если r(1) ? rтаб, то данные в ряду остатков коррелированны. В соответствии с критерием Дарбина - Уотстна надо вычислить коэффициент d: . Величина d сопоставляется с двумя табличными значениями d1 и d2, которые зависят от числа наблюдений, количества параметров модели прогнозирования и уровня значимости. Если d-коэффициент находится в пределах от 0 до d1, то ряд остатков сильно коррелирован. Если он находится в пределах от d2 до 2, то условие независимости выполняется. Если d -коэффициент превышает 2, то это свидетельствует об отрицательной корреляции и перед входом в таблицу его величину надо преобразовать: d=4-d. В том случае, когда расчетная величина попадает в интервал ( d1, d2), однозначного вывода нет, и следует воспользоваться другими критериями независимости ряда остатков, например, первого коэффициента автокорреляции r(1), который вычисляется по формуле: . Если |r(1)| > rтабл, то присутствие в остаточном ряду существенной автокорреляции подтверждается. Табличные значения d1 и d2, так же как и rтабл для критерия независимости по первому коэффициенту автокорреляции, приведены в справочниках. Нормальность остатков может быть проверена путем расчета коэффициентов асимметрии и эксцесса. Их значения должны быть близки к нулю. Степень близости к нулю оценивается по дисперсии асимметрии и эксцесса. Для проверки нормальности можно примерить также RS-критерий: RS = (Emax - Emin) / S, где (Emax - Emin) - разность между максимальным и минимальным уровнем ряда остатков, а S - среднеквадратическое отклонение. Если значение попадает между табулированными значениями при заданной доверительной вероятности, то гипотеза о нормальности принимается. Табулированные значения при уровне значимости 0,05 приведены в справочных таблицах. Проверка нормальности остатков может быть выполнена и с помощью других критериев. Эти критерии встроены в соответствующие профессиональные пакеты программ, обеспечивающие статистическую обработку данных. Практика показывает, что для получения достоверных выводов о свойствах ряда остатков необходимо применить по несколько критериев на случайность, независимость и нормальность Et. Проверим адекватность полученной модели (табл. 3) и найдём точечный и интервальный прогноз для t(11) и t(12). Таблица 3 Проверка адекватности модели линейного тренда t yt Et Точки поворота Et2 Et- Et-1 (Et- Et-1)2 Et* Et-1 ?Et ?/yt 1 50 0,467 - 0,218 0,009 2 52 0,044 0 0,002 0,423 0,179 0,021 0,001 3 54 -0,378 1 0,143 0,422 0,178 -0,017 0,007 4 59 2,200 1 4,840 -2,578 6,646 -0,832 0,037 5 57 -2,222 1 4,937 4,422 19,554 -4,888 0,039 6 60 -1,644 0 2,703 -0,578 0,334 3,653 0,027 7 63 -1,067 0 1,138 -0,577 0,333 1,754 0,017 8 68 1,511 1 2,283 -2,578 6,646 -1,612 0,022 9 70 1,089 0 1,186 0,422 0,178 1,645 0,016 10 71 -0,333 - 0,111 1,422 2,022 -0,363 0,005 Итого 55 604 -0,333 4 17,561 0,800 36,070 -0,638 0,180 Средние 5,5 60,4 -0,033 0,40 1,756 0,089 4,008 -0,071 0,018 Точность MSE = 1,756 ; MAPE = 1,8 % < 5% ; s = 1,481 Случайность 4 > 3,92 Да Независимость d = 2,054 4 - d =1,946 > 1,31 Да Нормальность S = 1,397 Emin = -2,222 RS = 3,165 Да Emax = 2,200 3,685> RS > 2,67 Точечный прогноз y(11) a0 + a1t = 73,756 Ошибка прогноза 3,614 при p = 0,05, tp = 2,262 и R2 = 0,965 Интервальный прогноз нижняя граница = 70,142 верхняя граница = 77,37 Точечный прогноз y(12) a0 + a1t = 76,178 Ошибка прогноза 3,633 при p = 0,05, tp = 2,262 и R2 = 0,965 Интервальный прогноз нижняя граница = 72,545 верхняя граница = 79,811 2. Производим расчёт тренда по методу модели линейного экспоненциального сглаживания Брауна. Промежуточные расчеты по модели линейного экспоненциального сглаживания Брауна при значении параметра а=0,4 (соответственно, 1-а=0,6) представлены в таблице 4. Таблица 4. Расчеты экспоненциально сглаженных средних по линейному методу Брауна t yt ut ut 2ut-ut Et ut-ut a1(t) 50,000 50,000 50,000 1 50 50,000 50,000 50,000 0,000 0,000 0,000 2 52 50,800 50,320 51,280 0,720 0,480 0,320 3 54 52,080 51,024 53,136 0,864 1,056 0,704 4 59 54,848 52,554 57,142 1,858 2,294 1,530 5 57 55,709 53,816 57,602 -0,602 1,893 1,262 6 60 57,425 55,260 59,591 0,409 2,166 1,444 7 63 59,655 57,018 62,293 0,707 2,637 1,758 8 68 62,993 59,408 66,578 1,422 3,585 2,390 9 70 65,796 61,963 69,629 0,371 3,833 2,555 10 71 67,878 64,329 71,426 -0,426 3,549 2,366 ИТОГО 55,0 604,0 577,184 555,690 598,677 5,323 21,493 14,329 Средние 5,5 60,4 57,718 55,569 59,868 0,532 2,149 1,433 Проверим адекватность адаптивной модели Таблица 5. Проверка адекватности модели линейного сглаживания Брауна t yt Et Точки поворота Е2t ABS (Et) ABS (Et/yt) Et-Et-1 (Et-Et-1)2 1 50 0 - 0,000 0 0,0000 0,000 0,000 2 52 0,72 0 0,518 0,72 0,0138 0,720 0,518 3 54 0,864 0 0,746 0,864 0,0160 0,144 0,021 4 59 1,858 1 3,452 1,858 0,0315 0,994 0,988 5 57 -0,602 1 0,362 0,602 0,0106 -2,460 6,052 6 60 0,409 0 0,167 0,409 0,0068 1,011 1,022 7 63 0,707 0 0,500 0,707 0,0112 0,298 0,089 8 68 1,422 1 2,022 1,422 0,0209 0,715 0,511 9 70 0,371 0 0,138 0,371 0,0053 -1,051 1,105 10 71 -0,426 - 0,181 0,426 0,0060 -0,797 0,635 ИТОГО 55,0 604,0 5,323 4 8,088 7,379 0,122 -0,426 10,941 Средние 5,5 60,4 0,532 0,444 0,809 0,738 0,012 -0,043 1,094 Точность MSE = 0,809 ; МЕ = 0,532 ; MAPE = 1,22 % < 5% Случайность 4 > 3,92 Да Независимость d = 1,352 4 - d =2,648 > 1,31 Да Нормальность S = 0,947 Emin = - 0,602 RS = 2,69 Да Emax = 1,858 3,685> RS > 2,67 Точечный прогноз y(11) 2u10 - u10 + 1?a1(10) = 73,792 Ошибка прогноза 2,311 при p = 0,05, tp = 2,262 Интервальный прогноз нижняя граница = 71,481 верхняя граница = 76,103 Точечный прогноз y(12) 2u10 - u10 + 2?a1(10) = 76,158 Ошибка прогноза 2,323 при p = 0,05, tp = 2,262 Интервальный прогноз нижняя граница = 73,835 верхняя граница = 78,481 3. В экономическом моделировании и прогнозировании часто требуется давать прогноз с учетом ведущих факторов. Эти задачи решаются с помощью эконометрических методов и, в частности, методов регрессионного анализа. Пусть на интересующий нас процесс оказывает влияние один фактор. В этом случае между независимой (факторной) переменной х и зависимой (результативной) переменной у будет существовать корреляционная связь. Если предположить, что форма связи между переменными является линейной, а значения величин х и у распределены по нормальному закону, то тесноту связи между этими переменными можно оценить по следующей формуле: . Значение коэффициента корреляции может изменятся в интервале от -1 до 1. Чем ближе значение R по абсолютной величине к 1, тем сильнее связь между переменными. Напротив, чем ближе значение R к 0, тем эта связь слабее. При R=1 связь между переменными является функциональной. Если коэффициент корреляции показывает существование достаточно тесной связи между факторной и результативной переменными, имеется возможность использовать для прогнозирования модель линейной регрессии. Линейная модель влияния фактора х на процесс у запишем в виде: у = а0+а1х . Оценку параметров модели регрессии выполняем методом наименьших квадратов. , а0= (yср - a1xср) . Прогнозную оценку переменной у получаем подстановкой в модель соответствующего прогнозного значения х для того же момента или периода наблюдений. При разработке прогноза используем информацию из задания, что, согласно экспертной оценке, ожидаемый уровень индекса деловой активности в 11 месяце года наблюдений (t=11) составит в среднем 50 пунктов, в 12-ом 52 пункта. Результаты расчетов, используемых при построении модели линейной регрессии, приведены в таблице 6. Таблица 6. Расчет параметров регрессионной модели t xt yt x - xср (x - xср) (x - xср)2 yt - yср (x-xср)/(yt - yср) a0+a1xt Еt 1 25 50 -12,2 148,840 -10,400 126,880 50,301 -0,301 -0,301 2 27 52 -10,2 104,040 -8,400 85,680 51,957 0,043 0,043 3 30 54 -7,2 51,840 -6,400 46,080 54,440 -0,440 -0,440 4 31 59 -6,2 38,440 -1,400 8,680 55,268 3,732 3,732 5 35 57 -2,2 4,840 -3,400 7,480 58,579 -1,579 -1,579 6 41 60 3,8 14,440 -0,400 -1,520 63,545 -3,545 -3,545 7 42 63 4,8 23,040 2,600 12,480 64,373 -1,373 -1,373 8 45 68 7,8 60,840 7,600 59,280 66,857 1,143 1,143 9 47 70 9,8 96,040 9,600 94,080 68,512 1,488 1,488 10 49 71 11,8 139,240 10,600 125,080 70,168 0,832 0,832 Итого 55 372 604,0 0,000 681,600 0,000 564,200 604,000 0,000 0,000 Средние 5,5 37,2 60,4 68,160 0,000 56,420 60,400 0,000 0,000 Полученное уравнение линейной регрессии запишется следующим образом: а1 = 0,828 ; а0 = 29,607 ; y = 29,607 + 0,828 xt . Для того, чтобы оценить, насколько хорошо данная модель аппроксимирует зависимость между переменными х и у, необходимо рассчитать ряд статистических характеристик. В качестве оценки доли общей вариации переменной у, объясняемой влиянием фактора х, используется уже известный нам коэффициент детерминации: = 1 - (35,379 / 564,2) = 0,937. Связь достаточно тесная. Расчеты характеристик качества полученного прогноза приведены в таблице 7. Таблица 7. Проверка адекватности модели линейной регрессии t xt yt Et Точки поворота Et2 Et- Et-1 (Et- Et-1)2 Et* Et-1 ?Et ?/yt 1 25 50 -0,301 - 0,091 - - - 0,006 2 27 52 0,043 1 0,002 0,344 0,119 -0,013 0,001 3 30 54 -0,440 1 0,194 -0,483 0,234 -0,019 0,008 4 31 59 3,732 1 13,929 4,172 17,408 -1,643 0,063 5 35 57 -1,579 0 2,493 -5,311 28,207 -5,893 0,028 6 41 60 -3,545 1 12,570 -1,967 3,867 5,598 0,059 7 42 63 -1,373 0 1,886 2,172 4,719 4,869 0,022 8 45 68 1,143 0 1,308 2,517 6,334 -1,570 0,017 9 47 70 1,488 1 2,214 0,344 0,119 1,701 0,021 10 49 71 0,832 - 0,693 -0,656 0,430 1,239 0,012 Итого 55 372 604,0 0,0 5,0 35,379 1,134 61,435 4,269 0,237 Средние 5,5 37,2 60,4 0,0 0,6 3,538 0,126 6,826 0,474 0,024 Точность MSE = 3,538 ; MAPE = 2,37 % < 5% Случайность 5 > 3,92 Да Независимость d = 1,736 4 - d =2,264 > 1,31 Да Нормальность S = 2,102 Emin = -3,545 RS = 3,461 Да Emax = 3,732 3,685> RS > 2,67 Точечный прогноз y(11) при x(11) = 50 a0 + a1x = 71,007 Ошибка прогноза 2,268 при p = 0,05, tp = 2,262 и R2 = 0,937 Интервальный прогноз нижняя граница = 68,739 верхняя граница = 73,275 Точечный прогноз y(12) при x(12) = 52 a0 + a1x = 72,663 Ошибка прогноза 2,278 при p = 0,05, tp = 2,262 и R2 = 0,937 Интервальный прогноз нижняя граница = 70,385 верхняя граница = 74,941 В заключение сопоставим результаты прогнозирования полученные с использованием различных методов (табл. 8) Таблица 8. Прогнозы, полученные различными методами, и адекватность используемых моделей Метод Точечный прогноз Свойства остатков Случайность Нормальность Независимость y(11) Нижняя граница Верхняя граница y(12) Нижняя граница Верхняя граница Сглаживания Брауна 73,792 71,481 76,103 76,158 73,835 78,481 Да Да Да Экстраполяции тренда 73,756 70,142 77,37 76,168 72,545 79,811 Да Да Да Линейной регрессии 71,007 68,739 73,275 72,663 70,385 74,941 Да Да Да Близость прогнозных оценок, полученных различными методами, свидетельствует о достаточно высоком качестве выполненного прогноза. ЛИТЕРАТУРА 1.Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико- математические модели: Учеб. пособие для вузов.- М.: Компьютер, ЮНИТИ, 1995.-136с. 2.Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ.-М.: ИНФРА-М, 1997.-402с. 3. Карлберг К. Бизнес-анализ с помощью Exel.: Пер. с англ.- К.: Диалектика, 1997.-448с. 4. Методическое пособие по выполнению компьютерного практикума по курсу "Социальное и экономическое прогнозирование"/ Воловиков С.А., Горячев Ю.В., Коновалов Д.М. -М.: "Союз" МСГУ, 1995.-27с. 5. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. - М.: ИНФРА -М, 1998.-528с. 2 10 Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками, графиками, приложениями и т.д., достаточно просто её СКАЧАТЬ.  |
|
Банк готовых работ
Форма заказа
Скачать работу
экономические  Copyright © refbank.ru 2005-2024
Все права на представленные на сайте материалы принадлежат refbank.ru. Перепечатка, копирование материалов без разрешения администрации сайта запрещено. |
|