|
|
Математическая статистика1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Вопрос №6: Назовите математические свойства средних величин и дисперсии. Их использование в расчётах. Средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности. Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т. е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т. е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности. Остановимся на некоторых общих принципах применения средних величин. 1. При определении средней величины в каждом конкретном случае нужно исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков, а также имеющиеся для расчета данные. 2. Средняя величина должна прежде всего рассчитываться по однородной совокупности. Качественно однородные совокупности позволяет получить метод группировок, который всегда предполагает расчет системы обобщающих показателей. 3. Общие средние должны подкрепляться групповыми средними. Например, допустим, что анализ динамики урожайности отдельной сельскохозяйственной культуры показывает, что общая по республике средняя урожайность снижается. Однако известно, что урожайность этой культуры зависит от почвенных, климатических и других условий и различна в отдельных районах. со Сгруппировав районы по признакам различия и проанализировав динамику групповых средних, можно обнаружить, что в отдельных группах районов средняя урожайность либо не изменилась, либо возрастает, а снижение общей средней по республике в целом обусловлено ростом удельного веса районов с более низкой урожайностью в общем производстве этой сельскохозяйственной культуры. Очевидно, что динамика групповых средних более полно отражает закономерности изменения урожайности, а динамика общей средней показывает лишь общий результат. 4. Необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается средняя. Рассмотрим теперь виды средних величин, особенности их исчисления и области применения. Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние. К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратичаская. В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана. Остановимся на степенных средних. Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по несгруппированным данным и имеет следующий общий вид: где Xi - варианта (значение) осредняемого признака; m - показатель степени средней; n - число вариант. Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид где Xi - варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта; m - показатель степени средней; fi - частота, показывающая, сколько раз встречается i-е значение осредняемого признака. Приведем в качестве примера расчет среднего возраста студентов в группе из 20 человек: Таблица 1 № п/п Возраст (лет) № п/п Возраст (лет) № п/п Возраст (лет) № п/п Возраст (лет) 1 18 6 20 11 22 16 21 2 18 7 19 12 19 17 19 3 4 19 20 8 9 19 19 13 14 19 20 18 19 19 19 5 19 10 20 15 20 20 19 Средний возраст рассчитаем по формуле простой средней: Таблица 2 Возраст, Х лет 18 19 20 21 22 Всего Число студентов 2 11 5 1 1 20 В результате группировки получаем новый показатель - частоту, указывающую число студентов в возрасте Х лет. Следовательно, средний возраст студентов группы будет рассчитываться по формуле взвешенной средней: Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (т). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних: средняя гармоническая, если m = -1; средняя геометрическая, если m ? 0; средняяарифметическая, если m = 1; средняя квадратическая, если m = 2; средняя кубическая, если m = 3. Формулы степенных средних приведены в табл. 4.4. Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина: В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные. Рассмотрим на примере порядок расчета и выбор формы средней величины. На основании следующих данных по двум сельскохозяйственным предприятиям необходимо определить, в каком из них и насколько выше средняя урожайность зерновых культур: Таблица 3 Культура Предприятие 1 Предприятие 2 Валовой сбор, ц Урожайность, ц/га Посевная площадь, га Урожайность, ц/га Пшеница озимая Рожь Ячмень Просо 32500 1620 13640 1650 25 18 22 15 1540 120 460 80 20 19 18 13 Итого 49410 - 2200 - Таблица 4 Виды степенных средних Показатель урожайности является вторичным признаком, так как он задан на единицу первичного признака (посевной площади, выраженной абсолютной величиной) и может быть представлен как отношение двух первичных признаков, а именно валового сбора и посевной площади: где У - урожайность, ВС - валовой сбор, ПП - посевная площадь. Следовательно, для расчета средней урожайности по каждому предприятию необходимо применить среднюю взвешенную. Возникает вопрос: арифметическую или гармоническую? В. Е. Овсиенко формализовал порядок выбора формы средней качественного признака на основе следующих правил1. 1. Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведения этих показателей, то средняя должная вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной. 2. Если в указанной постановке задачи известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой, то средняя вычисляется по формуле средней гармонической. 3. В том случае, когда в условии задачи даны численные значения числителя и знаменателя логической формулы показателя, средняя вычисляется непосредственно по этой формуле. Согласно данным рассматриваемого примера, для сельскохозяйственного предприятия № 1 средняя урожайность должна определяться по правилу 2, изложенному выше, так как известно численное значение числителя в логической формуле средней величины, а именно показатель валового сбора. Исходя из этой же логической формулы значение знаменателя (посевную площадь) можно определить так: Получаем следующую формулу для расчета средней урожайности по предприятию № 1: где в качестве веса выступает валовой сбор. Данную формулу расчета имеет средняя гармоническая взвешенная: Раскроем экономический смысл слагаемых знаменателя: 1300 га - посевная площадь, занятая под озимой пшеницей; 90 га - площадь под рожью; 620 га - под ячменем; 110 га - под просом; 2120 га - посевная площадь сельскохозяйственного предприятия № 1, занятая под всеми зерновыми культурами. Для сельскохозяйственного предприятия № 2 средняя урожайность определяется по правилу 1. В условиях задачи присутствует численное значение знаменателя - это показатель посевной площади. Исходя из логической, формулы средней величины числитель (валовой сбор) можно определить так: ВС=У • ПП. Получаем следующую формулу для расчета средней урожайности по предприятию № 2: где в качестве веса выступает посевная площадь. Данную формулу расчета имеет средняя арифметическая взвешенная: Экономический смысл слагаемых числителя следующий: 30 800 ц- валовой сбор озимой пшеницы; 2280 ц - ржи; 8280 ц - ячменя; 1040 ц - проса; 42 400 ц - валовой сбор зерновых культур на сельскохозяйственном предприятии № 2. Следовательно, средняя урожайность зерновых культур на предприятии № 1 по сравнению с предприятием № 2 была выше на 4,04 ц/га (или на 21 %). Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности - носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т. е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т. д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия. Покажем расчет средней гармонической простой на следующем примере. Три промышленных предприятия заняты производством миксеров. Себестоимость производства миксера на 1-м предприятии - 5 тыс. руб., на 2-м - 3 тыс., на 3-м - 6 тыс. руб. Необходимо определить среднюю себестоимость миксера при условии, что на каждом предприятии общие затраты на его изготовление составляют 60 тыс. руб. Попытка решить задачу с помощью средней арифметической простой оказалась бы успешной, если бы каждое предприятие выпускало по одному миксеру, но это не так, а потому Рассчитаем количество миксеров, произведенных каждым предприятием: Вычислим среднюю себестоимость по формуле средней гармонической взвешенной: Таким образом, в среднем на изготовление одного миксера было израсходовано 4,286 тыс. руб. В качестве веса в этой задаче был принят показатель общих затрат на производство миксеров, который представляет собой произведение себестоимости на количество единиц совокупности. Так как общие затраты на всех предприятиях одинаковы, то к аналогичному результату приводит и расчет по средней гармонической простой: Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым2. Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины. Покажем это правило на примере средней геометрической. Формула средней геометрической используется чаще всего при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики. Средняя геометрическая применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих, например, на рост объема производства по сравнению с уровнем предыдущего года: i1, i2, i3, ..., in. Очевидно, что объем производства в последнем году определяется начальным его уровнем (q0) и последующим наращиванием по годам: qn = q0 • i1 • i2• ... • in. Приняв qn в качестве определяющего показателя и заменяя индивидуальные значения показателей динамики средними, приходим к соотношению Интересно, что к расчету показателя средних темпов рост можно подойти и по-иному. Примем в качестве определяющего показателя общий объем производства за n лет: Q = q1+q2+...+qn. Тогда Q = q0 • i, + q0 • i1 • i2 + ... + q0 • i1 • i2 • ... • in. Заменяем индивидуальные значения средним: Таким образом, если известно, во сколько раз суммарный объем производства за n лет должен превысить уровень базисного года, то для определения среднего коэффициента роста надо решить уравнение степени n. Найденное среднее значение коэффициента роста дает ответ на вопрос, какими темпами должен ежегодно возрастать показатель, чтобы в итоге получился суммарный объем Q. Приведем таблицу решений уравнения при n = 3 и n = 5 для Q/q;, в интервале от 3 до 10: Таблица 5 n Q/q0 3 4 5 6 7 8 9 10 3 5 1 0,834 1,151 0,927 1,278 1 1,389 1,061 1,489 1,114 1,578 1,161 1,661 1,203 1,734 1,241 Например, чтобы среднегодовой объем производства в предстоящие 5 лет был больше объема базисного года на 20 % (в итоге за 5 лет будет произведено в 6 раз больше продукции, чем в предшествующем году), следует ежегодно увеличивать объем производства на 6,1 -6,2 %. По сравнению с базисным ежегодное производство должно будет составлять 106,1 %; 112,6; 119,6; 127,0; 134,7%. Дисперсия признака (?2) определяется на основе квадратической степенной средней: Показатель ?, равный ??2 называется средним квадратическим отклонением. В общей теории статистики показатель дисперсии является оценкой одноименного показателя теории вероятностей и (как сумма квадратов отклонений) оценкой дисперсии в математической статистике, что позволяет использовать положения этих теоретических дисциплин для анализа социально-экономических процессов. Простыми преобразованиями могут быть получены формулы расчета дисперсии методом моментов: Здесь X2 - среднее значение квадратов признака, или начальный момент второго порядка; Х - среднее значение признака, или начальный момент первого порядка. Величина дисперсии признака ?2 носит еще название центрального момента второго порядка. Формула метода моментов используется довольно часто. На ней основываются, например, методы статистического имитационного моделирования. Кроме того, если первичные данные сгруппированы, метод моментов позволяет ускорить расчет дисперсии по аналогии с расчетом среднего значения. Величина дисперсии не зависит от начала отсчета, т. е. все индивидуальные значения признака можно увеличить или уменьшить на одно и то же число А. Это свойство очевидно, ибо с увеличением или уменьшением значений признака Х аналогично изменяется и показатель среднего уровня. Численное значение дисперсии зависит от масштаба измерения признака X. При увеличении (или уменьшении) всех значений признака в С раз показатель дисперсии - нового, увеличенного (или уменьшенного) признака будет больше (или меньше) дисперсии прежнего значения признака в С2 раз, т. ?2(Х?С) = С2?2(Х). Если первичные данные сгруппировать, то дисперсия признака может быть определена как сумма так называемой межгрупповой дисперсии - ?2м.гр. и среднего значения внутригрупповых - ?2, т. е. Вывести эту формулу несложно, если учесть, что межгрупповая дисперсия рассчитывается как где k- количество групп, на которые разбита вся совокупность; MJ- количество объектов, наблюдений, включенных в группу j; Хj - среднее значение признака по группе j; Х- общее среднее значение признака. Среднее значение внутригрупповых дисперсий рассчитывается по формуле: Подставляя ?2м.гр. и ?2 в формулу сложения дисперсий, выходим на формулу расчета дисперсии методом моментов, что и подтверждает правило сложения дисперсий. Свойство сложения дисперсий используется для измерения степени взаимосвязи признаков. Предыдущие два свойства способствуют ускорению расчетов, если первичные данные представлены в сгруппированном виде с равными интервалами. Вводя вместо прежних значений признака Х новые, полученные по формуле убеждаемся, что Если исходные данные представлены в форме интервального ряда распределения, т. е., по существу, первичные данные распределены по группам, то следовало бы и ?2 рассчитывать по правилу сложения дисперсий. Но обычно это сделать невозможно из-за того, что точные средние значения признака в каждом интервале неизвестны. При замене средних значений серединами интервалов получающаяся межгрупповая дисперсия оказывается несколько больше общей дисперсии - ориентировочно на величину h2 /12 (поправка Шеппарда). На практике эту поправку вводят редко и подсчитываемая по данным интервального ряда распределения дисперсия считается достаточно точной оценкой искомой общей дисперсии: где k - количество интервалов; Xj - значение признака Х в середине j-го интервала. Для приведенного ранее примера получаем Непосредственный расчет по исходным данным дает тот же результат, но оказывается более трудоемким. Если вариация оценивается по небольшому числу наблюдений, взятых из неограниченной генеральной совокупности, то и среднее значение признака определяется с некоторой погрешностью. Расчетная величина дисперсии оказывается смещенной в сторону уменьшения. Для получения несмещенной оценки выборочную дисперсию, полученную по приведенным ранее формулам, надо умножить на величину п / (п - 1). В итоге при малом числе наблюдений (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле Обычно уже при п > (15 ? 20) расхождение смещенной и несмещенной оценок становится несущественным. По этой же причине обычно не учитывают смещенность и в формуле сложения дисперсий. Если из генеральной совокупности сделать несколько выборок и каждый раз при этом определять среднее значение признака, то возникает задача оценки колеблемости средних. Оценить дисперсию среднего значения можно и на основе всего одного выборочного наблюдения по формуле где n - объем выборки; ? - дисперсия признака, рассчитанная по данным выборки. 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Задача 8: В случайном порядке отобрано 100 клубней картофеля и определён вес каждого клубня (г): 112,210, 133, 215, 206, 80, 197, 134, 145, 183, 251, 53, 142, 120, 177, 159, 111, 185, 200, 191, 96, 205, 138, 213, 209, 77, 201, 131, 148, 180, 260, 50, 146, 117, 180, 156, 116, 181, 203, 188, 81, 120, 135, 220, 144, 152, 150, 110, 118, 140, 125, 208, 134, 214, 209, 85, 195, 136, 143, 181, 256, 59, 142, 122, 177, 160, 114, 183, 199, 197, 101, 202, 142, 218, 209, 79, 206, 137, 148, 180, 259, 65, 82, 88, 117, 180, 68, 117, 181, 202, 188, 94, 113, 135, 220, 144, 59, 69, 100, 91. Постройте интервальный ряд распределения клубней по весу, образовав при этом 7 - 8 равных интервалов. Для каждого интервала подсчитайте локальные и накопленные частоты. Постройте гистограмму распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Решение: Предварительно составляем вспомогательную таблицу 6, определив границы интервалов (рекомендовано заданием 7-8 групп): . Частоту определяем по формуле: , где m - количество значений в интервале; N - общее количество значений. Таблица 6 № п/п Вес клубней, г Интервалы Значения Локальные частоты Накопленные частоты Накопленная частость 1 112 50-80 50 2 210 53 3 133 59 4 215 59 9 9 0,09 5 206 65 6 80 68 7 197 69 8 134 77 9 145 79 10 183 80-110 80 11 251 81 12 53 82 13 142 85 10 19 0,19 14 120 88 15 177 91 16 159 94 17 111 96 18 185 100 19 200 101 20 191 110-140 110 21 96 111 22 205 112 23 138 113 23 42 0,42 24 213 114 25 209 116 26 77 117 27 201 117 28 131 117 29 148 118 30 180 120 31 260 120 32 50 122 33 146 125 34 117 131 35 180 133 36 156 134 37 116 134 38 181 135 39 203 135 40 188 136 41 81 137 42 120 138 43 135 140-170 140 44 220 142 45 144 142 46 152 142 16 58 0,58 47 150 143 48 110 144 49 118 144 50 140 145 51 125 146 52 208 148 53 134 148 54 214 150 55 209 152 56 85 156 57 195 159 58 136 160 59 143 170-200 177 60 181 177 61 256 180 62 59 180 19 77 0,77 63 142 180 64 122 180 65 177 181 66 160 181 67 114 181 68 183 183 69 199 183 70 197 185 71 101 188 72 202 188 73 142 191 74 218 195 75 209 197 76 79 197 77 206 199 78 137 200-230 200 79 148 201 80 180 202 81 259 202 19 96 0,96 82 65 203 83 82 205 84 88 206 85 117 206 86 180 208 87 68 209 88 117 209 89 181 209 90 202 210 91 188 213 92 94 214 93 113 215 94 135 218 95 220 220 96 144 220 97 59 230-260 251 98 69 256 4 100 1,0 99 100 259 100 91 260 Для полученных значений строим гистограмму распределения (рис.1) и кумуляту (рис. 2). Рис. 1. Гистограмма распределения. Рис. 2. Кумулята. Показатель моды - наиболее часто повторяющегося признака - для интервального ряда с равными интервалами определяется по формуле: , где ХМо - нижнее значение модального интервала; mМо - число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном либо относительном выражении); mМо-1 - то же для интервала, предшествующего модальному; mМо+1 - то же для интервала, следующего за модальным; h - величина интервала изменения признака в группах. В качестве модального выступает интервал 110-140, так как ему соответствует наибольшая частота, отсюда мода равна: . Медиану (величину признака, которая делит упорядоченную последовательность значений на две части, равные по численности). , где xме - нижняя граница медианного интервала; hме - его величина; - половина от общего числа наблюдений; mме - число наблюдений в медианном интервале. По ряду накопленных частот определяемпервую накопленную частоту, равную или большую половине отколичества наблюдений n/2 = 100/2 = 50. Она равна 58. Поэтому медианным является интервал 140 - 70. Откуда: . Для вычисления средней, дисперсии, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации составляем вспомогательную таблицу 7. Таблица 7 №п/п Интервал Середина Интервала, ? Частость, ? ?? ?2 ?2? 1 50-80 65 0,09 5,85 4225 380,25 2 80-110 95 0,1 9,5 9025 902,5 3 110-140 125 0,23 28,75 15625 3593,75 4 140-170 155 0,16 24,8 24025 3844 5 170-200 185 0,19 35,15 34225 6502,75 6 210-230 215 0,19 40,85 46225 8782,75 7 230-260 245 0,04 9,8 60025 2401 1 154,7 - 26407 Средняя: Дисперсия: Среднее квадратическое отклонение: . Коэффициент вариации: или 32,2% . Задача 23 Рассматривая данные задачи 8 как данные случайной выборки небольшой генеральной совокупности, определить: точечные оценки средней и дисперсии в генеральной совокупности; интервальную оценку средней при доверительной вероятности 0,95; вероятность, что ошибка выборочной средней не превысит 5г; необходимый объём выборки, чтобы ошибка выборочной средней с вероятностью 0,99 не превышала 3г. Решение: Для вычисления оценки средней и дисперсии генеральной совокупности составляем таблицу 8. Таблица 8 № п/п x x2 X - Xср (X - Xср)2 1 112 12544 -40,02 1601,6 2 210 44100 57,98 3361,68 3 133 17689 -19,02 361,7604 4 215 46225 62,98 3966,48 5 206 42436 53,98 2913,84 6 80 6400 -72,02 5186,88 7 197 38809 44,98 2023,2 8 134 17956 -18,02 324,7204 9 145 21025 -7,02 49,2804 10 183 33489 30,98 959,7604 11 251 63001 98,98 9797,04 12 53 2809 -99,02 9804,96 13 142 20164 -10,02 100,4004 14 120 14400 -32,02 1025,28 15 177 31329 24,98 624,0004 16 159 25281 6,98 48,7204 17 111 12321 -41,02 1682,64 18 185 34225 32,98 1087,68 19 200 40000 47,98 2302,08 20 191 36481 38,98 1519,44 21 96 9216 -56,02 3138,24 22 205 42025 52,98 2806,88 23 138 19044 -14,02 196,5604 24 213 45369 60,98 3718,56 25 209 43681 56,98 3246,72 26 77 5929 -75,02 5628 27 201 40401 48,98 2399,04 28 131 17161 -21,02 441,8404 29 148 21904 -4,02 16,1604 30 180 32400 27,98 782,8804 31 260 67600 107,98 11659,68 32 50 2500 -102,02 10408,08 33 146 21316 -6,02 36,2404 34 117 13689 -35,02 1226,4 35 180 32400 27,98 782,8804 36 156 24336 3,98 15,8404 37 116 13456 -36,02 1297,44 38 181 32761 28,98 839,8404 39 203 41209 50,98 2598,96 40 188 35344 35,98 1294,56 41 81 6561 -71,02 5043,84 42 120 14400 -32,02 1025,28 43 135 18225 -17,02 289,6804 44 220 48400 67,98 4621,28 45 144 20736 -8,02 64,3204 46 152 23104 -0,02 0,0004 47 150 22500 -2,02 4,0804 48 110 12100 -42,02 1765,68 49 118 13924 -34,02 1157,36 50 140 19600 -12,02 144,4804 51 125 15625 -27,02 730,0804 52 208 43264 55,98 3133,76 53 134 17956 -18,02 324,7204 54 214 45796 61,98 3841,52 55 209 43681 56,98 3246,72 56 85 7225 -67,02 4491,68 57 195 38025 42,98 1847,28 58 136 18496 -16,02 256,6404 59 143 20449 -9,02 81,3604 60 181 32761 28,98 839,8404 61 256 65536 103,98 10811,84 62 59 3481 -93,02 8652,72 63 142 20164 -10,02 100,4004 64 122 14884 -30,02 901,2004 65 177 31329 24,98 624,0004 66 160 25600 7,98 63,6804 67 114 12996 -38,02 1445,52 68 183 33489 30,98 959,7604 69 199 39601 46,98 2207,12 70 197 38809 44,98 2023,2 71 101 10201 -51,02 2603,04 72 202 40804 49,98 2498 73 142 20164 -10,02 100,4004 74 218 47524 65,98 4353,36 75 209 43681 56,98 3246,72 76 79 6241 -73,02 5331,92 77 206 42436 53,98 2913,84 78 137 18769 -15,02 225,6004 79 148 21904 -4,02 16,1604 80 180 32400 27,98 782,8804 81 259 67081 106,98 11444,72 82 65 4225 -87,02 7572,48 83 82 6724 -70,02 4902,8 84 88 7744 -64,02 4098,56 85 117 13689 -35,02 1226,4 86 180 32400 27,98 782,8804 87 68 4624 -84,02 7059,36 88 117 13689 -35,02 1226,4 89 181 32761 28,98 839,8404 90 202 40804 49,98 2498 91 188 35344 35,98 1294,56 92 94 8836 -58,02 3366,32 93 113 12769 -39,02 1522,56 94 135 18225 -17,02 289,6804 95 220 48400 67,98 4621,28 96 144 20736 -8,02 64,3204 97 59 3481 -93,02 8652,72 98 69 4761 -83,02 6892,32 99 100 10000 -52,02 2706,08 100 91 8281 -61,02 3723,44 Сумма 15202 2569840 258832 Среднее 152,02 25698,4 2588,32 Средняя: . Дисперсия генеральной выборки: . 2) ; Таким образом: , По таблицам приложений находим Ф(z) = 0,95 , при z = 1,96 , откуда ?/25,88 = 1,96, следовательно ? = 25,88*1,96 = 50,73 г. Итак, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что средняя в выборке отличается от средней в генеральной совокупности не более, чем на 50,73 г. 3) . По таблицам Ф(z) = 0,193 при p = 0,15. Вероятность, что ошибка выборочной средней не превысит 5г составляет 0,15. Объём выборки: N = 100, Z0,99= 2,58, ? = 3г. . 1 См.: Овсиенко В. Выбор формы средней и о некоторых ошибках, допускаемых в этом вопросе // Вестник статистики. 1989. № 2. 2 Боярский А.Я. Теоретические исследования по статистике: Сб. науч. трудов. - M.: Статистика, 1974. С. 19 - 57. 1 2 Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками, графиками, приложениями и т.д., достаточно просто её СКАЧАТЬ.  |
|
Банк готовых работ
Форма заказа
Скачать работу
экономические  Copyright © refbank.ru 2005-2024
Все права на представленные на сайте материалы принадлежат refbank.ru. Перепечатка, копирование материалов без разрешения администрации сайта запрещено. |
|