Refbank.Ru - рефераты, курсовые работы, дипломы по разным дисциплинам
Рефераты и курсовые
 Банк готовых работ
Дипломные работы
 Банк дипломных работ
Заказ работы
Заказать Форма заказа
Лучшие дипломы
 Формирование денежной политики предприятия по продаже автомобильных аксессуаров
 Охрана прав и свобод потерпевшего в уголовном судопроизводстве
Рекомендуем
 
Новые статьи
 Игровые автоматы онлайн от гемблинг...
 Новые слоты в автоматах...
 Казино Эльдорадо - бесплатные игровые...
 Официальный сайт казино...
 Бесплатные игры в Azart...
 Очень хорошее сочинение про...
 Великий и могучий русский язык. Яблоком по...
 Алгоритм распространения земляники в задачах глобальной...
 Сайт где играют бесплатно в...
 100 КНИГ, КОТОРЫЕ ПОТРЯСЛИ...
 На что обратить внимание при выборе казино...
 Дневник первокурсницы....
 Бесплатные игровые слоты для...
 Как заработать студенту в интернете....
 Казино «Вулкан» – идеальное место для ощущения азарта и...


любое слово все слова вместе  Как искать?Как искать?

Любое слово
- ищутся работы, в названии которых встречается любое слово из запроса (рекомендуется).

Все слова вместе - ищутся работы, в названии которых встречаются все слова вместе из запроса ('строгий' поиск).

Поисковый запрос должен состоять минимум из 4 букв.

В запросе не нужно писать вид работы ("реферат", "курсовая", "диплом" и т.д.).

!!! Для более полного и точного анализа базы рекомендуем производить поиск с использованием символа "*".

К примеру, Вам нужно найти работу на тему:
"Основные принципы финансового менеджмента фирмы".

В этом случае поисковый запрос выглядит так:
основн* принцип* финанс* менеджмент* фирм*
Математика и теория вероятностей

реферат

Многогранники



ПЛАН
Введение
Теоремы и их доказательства.
Решение задач.
Правильные многогранники.
Литература Введение
Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. В стереометрии, свойства геометрических фигур устанавливаются путем свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем. При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, выражаемые аксиомами.
При решении стереометрических задач высоки требования к качеству чертежа, его наглядности. Нельзя научиться решать сколько-нибудь содержательные стереометрические задачи, не освоив принципы и технику построения пространственного чертежа. Сюда входит: выбор оптимального положения изображаемого тела (в частности, выбор ориентации - верх и низ, право и лево), выбор ракурса и проекции, умение минимизировать количество изображенных линяй (напомним, что видимые и невидимые линии должны изображаться различным образом), умение строить сечения и проекции на плоскость, умение выделить на пространственном чертеже и соответственно изобразить плоскую конфигурацию, дающую ключ к решению задачи, умение перевести условие задачи на графический язык.
Пространственные тела можно разделить на две группы: удобные для пространственного изображения и неудобные. К первой группе мы отнесем следующие многогранники: параллелепипед (и прежде всего прямоугольный), треугольную призму, треугольную пирамиду (или тетраэдр) и четырехугольную пирамиду. Все остальные - неудобные. Конечно, такое разделение носит условный характер. В частности, цилиндр и конус достаточно хорошо и наглядно "смотрятся" на проекционном чертеже. Тем не менее практика показывает, что в большинстве задач, в условии которых не фигурируют "удобные" многогранники, можно или вычленить в рассматриваемом теле один из вышеперечисленных "удобных" многогранников, или каким-то способом "привязать" заданную конфигурацию к одному из них.
В данном реферате мы рассмотрим некоторые виды стереометрических задач и методы их решения. При этом в разделах, относящихся к методам решения, большей частью мы ограничиваемся объявлением метода и одной-двумя задачами, иллюстрирующими "работу" этого метода.
Основным средством решения является аналитический метод. В нем можно выделить две разновидности: метод поэтапного решения и составление уравнений. Аналитический метод имеет различные формы реализации: выделение стандартных фигур и конфигураций (прямоугольный треугольник, правильная треугольная пирамида, треугольник и в нем биссектриса, окружность и две хорды и т. д.) и применение к ним соответствующих теорем и формул, метод координат, векторный метод и др. К этому основному магистральному пути добавляются различные геометрические методы и приемы. Важнейшую роль играют опорные задачи, набор которых представляет собой своеобразный арсенал используемого оружия: теорем, формул, стандартных ситуаций, стандартных схем реализации того или иного метода.
Перечислим основные элементы многогранников. Линейные: сторона основания, боковое ребро, апофема боковой грани (для пирамид), радиусы окружностей, вписанных или описанных по отношению к основанию, радиус описанного около многогранника шара, радиус вписанного шара (для призм этот шар не всегда существует) и т. д. Площади: основания (или оснований), боковой поверхности, полной поверхности. Объем многогранника. Угловые: линейные углы при вершине, двугранные при основании или между боковыми гранями. Правильная призма или пирамида задается величинами двух независимых элементов. Таким образом, возникает достаточно обширная серия простейших задач: по двум данным найти третью.
В данном реферате приводится доказательство теорем, решение задач по теме "Многогранники".
1. Теоремы и их доказательства.
Теорема I.
Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра.

Дано:
прямая n-угольная призма
Доказать:
Sбок=p? h.
Доказательство
Прямой называется призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, т. е. боковые грани прямой призмы будут являться прямоугольниками. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней призмы Sбок=S1+ S2+ S3+...+ Sn. Площадь боковой грани определяется как площадь прямоугольника и равна произведению длины основания на высоту. Основания этих прямоугольников будут составлять многоугольник, являющийся основанием призмы, а высоты являются боковыми ребрами призмы. Отсюда:
Sбок=a1?h+ a2?h + a3?h + ...+an?h=( a1+ a2 +a3 +...+aп)?h.
Cумма ( a1+ a2 +a3 +...+aп) равна периметру многоугольника р, являющегося основанием пирамиды, поэтому:
Sбок=р? h.
Теорема доказана.
Теорема II.
У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

Дано:
Параллелепипед АBCDA1B1C1D1
Доказать:
АBCD=A1B1C1D1; АBCD||A1B1C1D1
АBB1 A1=CD D1C1; АBB1 A1||CD D1C1
АDD1 A1=CBB1C1; АDD1 A1||CBB1C1
Доказательство
Известно, что все грани параллелепипеда параллелограммы. Рассмотрим две противолежащие грани параллелепипеда АBCD и A1B1C1D1. В них АВ||A1B1, a BC||B1C1, так как АBB1 A1 и CBB1C1 - параллелограммы. Из признака параллельности плоскостей следует, что плоскость АBCD параллельна плоскости A1B1C1D1, т. е. грани АBCD||A1B1C1D1.
Так как все грани параллелепипеда - параллелограммы, мы можем утверждать, что AA1||BB1||CC1||DD1 и AA1=BB1=CC1=DD1, т. е. грань АBCD совмещается параллельным переносом с гранью A1B1C1D1 (точки А, B, C и D смещаются по параллельным прямым AA1, BB1, CC1 и DD1 на одно и то же расстояние, равное AA1). Согласно свойствам параллельного переноса грани АBCD и A1B1C1D1 будут равны.
Параллельность и равенство граней АBB1 A1 и CD D1C1; АDD1 A1 и CBB1C1 доказывается аналогично.
Теорема доказана.
Теорема III.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Дано:
Параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
Доказать:
AC1?BD1=O; AO=OC1; BO=OD1.
A1C?B1D=O; A1O=OC; B1O=OD.
Доказательство
Рассмотрим диагонали параллелепипеда АС1 и ВD1. Так как все грани параллелепипеда являются параллелограммами, можно утверждать, что AB||A1B1 и C1D1||A1B1. Отсюда, согласно теореме о параллельности плоскостей AB||С1D1, и соответственно эти две прямые лежат в одной плоскости. Данная плоскость пересекает грани AA1D1D и BCC1B1 по прямым ВС1 и АD1. Согласно свойствам параллельных плоскостей эти прямые будут параллельны.
Таким образом мы получили, что AB||С1D1, ВС1||АD1 и точки A, B, С1, D1 лежат в одной плоскости, следовательно ABС1D1 - параллелограмм. Диагонали этого параллелограмма АС1 и ВD1, согласно свойствам параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Итак, мы получили, что AC1?BD1=O; AO=OC1; BO=OD1.
Для диагоналей А1С, В1D доказательство проводится аналогично.
Теорема доказана.
Теорема IV.
В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Дано:
Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
Доказать:
Доказательство
Рассмотрим ?BDD1. Данный треугольник будет прямоугольным, так как у прямоугольного параллелепипеда ребра перпендикулярны плоскости основания, т. е. ?BDD1=90?. По теореме Пифагора:
BD можно определить из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора:
Отсюда: Грани AB, AD и DD1 не параллельны, т. е. являются линейными размерами параллелепипеда.
Для остальных диагоналей параллелепипеда доказательство проводится аналогично.
Теорема доказана.
Теорема V.
Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.

Дано:
Пирамида РАВС.
? ? РАВС=A1B1C1; ?||АВС
Доказать:
РАВС?Р A1B1C1.
Доказательство
Преобразуем пирамиду РАВС гомотетией относительно точки Р с коэффициентом . При данном преобразовании плоскость основания АВС перейдет в параллельную плоскость, проходящую через точку А1. Согласно теореме о существовании плоскости, параллельной данной, эта плоскость совпадет с секущей плоскостью ?. Следовательно, пирамида РАВС переходит в отсекаемую плоскостью ? пирамиду РA1B1C1. А так как гомотетия есть преобразование подобия пирамида РАВС будет подобна пирамиде РA1B1C1 (РАВС?Р A1B1C1).
Теорема доказана.
Теорема VI.
Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

Дано:
Правильная п-угольная пирамида
Доказать:
.
Доказательство
У правильной пирамиды в основании лежит правильный п-угольник, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней призмы Sбок=S1+ S2+ S3+...+ Sn. Площадь боковой грани определяется как площадь треугольника и равна половине произведения длины основания на высоту. Основания этих треугольников будут составлять многоугольник, являющийся основанием призмы, а высоты являются боковыми ребрами пирамиды. Отсюда:
.
Величина a? n равна периметру р многоугольника, являющегося основанием пирамиды, поэтому:

Теорема доказана.
2. Решение задач.
Задача I.
Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и наклонено к плоскости основания под углом 30?. Найдите высоту призмы.
Дано:
Наклонная призма ABCDA1B1C1D1
А1О - высота; АА1=15 см.
?А1АО=30?.
Найти:
высоту А1О.
Решение
Рассмотрим ?А1ОА. Этот треугольник - прямоугольный, так как А1О?ABCD. Отсюда:
А1О=АА1?sin?А1АО= АА1?sin30?.
А1О=15?0,5=7,5 cм.
Ответ: высота призмы равна 7,5 см.
Задача II.
В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 7 дм и 24 дм, а высота параллелепипеда 8 дм. Найдите площадь диагонального сечения.
Дано:
Прямоугольный параллелепипед AB=7 см, ВD=24 см, АА1=8 см.
Найти:

Решение
Площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда равна произведению длины диагонали основания на высоту параллелепипеда:
Диагональ BD найдем из ?ABD по теореме Пифагора:
см.
см2.
Ответ: площадь диагонального сечения равна 200 см2.
Задача III.
В правильной четырехугольной призме площадь боковой грани равна Q. Найдите площадь диагонального сечения.
Дано:
Правильная призма ABCDA1B1C1D1
Найти:
Решение
Правильной четырехугольной называется прямая призма, у которой основанием является квадрат.
Площадь боковой грани АВВ1А1 равна произведению длины основания АВ на длину высоту ВВ1. Пусть АВ=а, ВВ1=b, тогда , но по условию
Отсюда: Q=a? b.
Из прямоугольного ?АВD найдем диагональ основания BD:
(AB=AD так как ABCD - квадрат).
Площадь диагонального сечения равна:
Ответ:
Задача IV.
В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна 12 см2. Найдите высоту.
Дано:
Пряма призма ABCA1B1C1,
AB=BC=AC=AA1,
Sбок=12 м2.
Найти:
Высоту АА1

Решение
Высота будет равна длине любого из ребер призмы (так как по условию задачи призма прямая и все ребра равны между собой).
Площадь боковой грани призмы будет равна длине ребра возведенной в квадрат - Sб.г.=АА12, а площадь всей боковой поверхности призмы - Sбок=3АА12. Но по условию известно, что боковая поверхность призмы равна 12 см2. Отсюда: 3АА12=12
АА12=4
АА1=2
Ответ: высота призмы равна 2 м.
Задача V.
В прямом параллелепипеде стороны основания 6 м и 8 м образуют угол 30?, боковое ребро равно 5 м. Найдите полную поверхность этого параллелепипеда.
Дано:
Прямой параллелепипед ABCDA1B1C1D1
AB=6 м, AD=8 м, АА1=5 м.
?ВАD=30?
Найти:
Sполн
Решение
Полная поверхность параллелепипеда равна сумме боковой поверхности и двух поверхностей оснований: Sполн= Sбок+2 Sосн.
Боковая поверхность равна произведению периметра основания на высоту призмы: Sбок=2(AB+ВD)?АА1=2(6+8)?5=140 м2.
Площадь основания равна произведению одной из сторон основания на его высоту.
Найдем высоту основания из ?АВЕ: DE=AD?sin?А=8? 0,5=4 м.
Sосн.=АВ?DE=6? 4=24 м2.
Sполн= 140+2?24=188 м2.
Ответ: полная поверхность параллелепипеда равна 188 м2.
Задача VI.
Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.
Дано:
Пирамида РАВСD,
ABCD - прямоугольник,
АВ=6 см, ВD=8см,
РА=РВ=РС=РD=13 см.
Найти:
Высоту РО.
Решение
Если все боковые ребра пирамиды равны между собой, то основание высоты пирамиды будет совпадать с точкой пересечения диагоналей основания пирамиды.
Рассмотрим ?BАD. в нем ?BАD=90? (так как ABCD - прямоугольник).
По теореме Пифагора определим диагональ ВD:
см.
Рассмотрим ?ВОР. В нем ?ВОР=90? (так как РО - высота), .
По теореме Пифагора определим катет PO:
см.
Ответ: высота пирамиды равна 12 см.
Задача VII.
Основание пирамиды - равнобедренный треугольник со сторонами 40 см, 25 см и 25 см. Ее высота проходит через вершину угла, противолежащего стороне 40 см, и равна 8 см. Найдите боковую поверхность пирамиды.
Дано:
Пирамида РАВС,
?АВС - равнобедренный,
АВ=25 см, АС=25 см, ВС=40 см,
РА - высота, РА= 8 см.
Найти:
Sбок
Решение
Боковая поверхность призмы равна: Sбок=S?PАС+ S?PАB+S?PBС.
Найдем площади треугольников.
см2.
см2.
.
Найдем РО из ?PАО по теореме Пифагора:

Из ?АОС по теореме Пифагора:см (см).
см.
см2.
Sбок=100+100+340=540 см2.
Ответ: боковая поверхность пирамиды равна 540 см2.
Задача VIII.
В правильной треугольной пирамиде с высотой h через сторону основания а проведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое ребро под прямым углом. Найдите площадь сечения.
Дано:
Правильная пирамида РАВС,
РО - высота, РО=h, AB=a, (ACD)?PB.
Найти:
SACD
Решение

Найдем DE.
Рассмотрим ?ВDЕ. В нем?BDЕ=90? (так как (ACD)?PB). DE=BE?sin?В.

Из ?РОВ: ( - как радиус описанной окружности ?АВС).
Из тригонометрии известно, что .
Отсюда .
.

Ответ: площадь сечения равна
Задача IX.
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания 8 см. Найдите боковое ребро.
Дано:
Правильная пирамида РАВСD,
РО - высота, РО=7 см, АВ=8 см,
Найти:
Боковое ребро РВ.
Решение
Рассмотрим ?ВОР. В нем ?ВОР=90? (так как РО - высота), .
Так как ABCD - квадрат, а ВD его диагональ, тосм.
По теореме Пифагорасм.
Ответ: боковое ребро пирамиды равно 9 см.
Задача X.
По стороне основания а найдите боковую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.
Дано:
Правильная пирамида,
АВ=а, SABCD=SAPC.
Найти:
Sбок
Решение
Если пирамида РАВСD - правильная, то боковая поверхность будет равна половине произведения периметра основания на апофему:
.
Из ?ЕОР по теореме Пифагора определим РЕ:

Так как SABCD =а2; , то приравняв правые части этих выражений, получим, что .



Ответ: боковая поверхность призмы равна 3а2.
Правильные многогранники.
Многогранник называется правильным, если
он выпуклый,
все его грани - равные правильные многоугольники,
в каждой вершине сходится одинаковое число граней,
все его двухгранные углы равны.
Существует всего 5 видов правильных многогранников.

Правильный тетраэдр. Это треугольная пирамида, все грани которой - правильные треугольники. Имеет четыре вершины и шесть ребер.; ; ; .

Куб. Это параллелепипед, все грани которого - квадраты. Имеет восемь вершин и 12 ребер.
; ; ; ; .

Октаэдр имеет 8 правильных треугольных граней и в каждой вершине сходятся по 4 грани. Все восемь граней - равносторонние треугольники. Имеет шесть вершин и 12 ребер. ;;;.
Икосаэдр имеет 20 правильных треугольных граней и в каждой вершине сходятся по 5 граней. Имеет 12 вершин и 30 ребер. Все 12 граней - правильные пятиугольники. ;;;.
Додекаэдр имеет 12 правильных пятиугольных граней и в каждой вершине сходятся по 3 грани. Имеет 20 вершин и 30 ребер.;;;

Обозначения:
a - ребро, V - объем, S - площадь поверхности, R - радиус описанной сферы, r - радиус вписанной сферы, H - высота.
Литература
Метельский Н.В. Пособие по математике. - Минск, Изд-во БГУ, 1983.
Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. - М., Просвещение,1990.
Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач. Учебное пособие для 11 классов общеобразовательных учреждений. - М., Просвещение, 1995.

1

Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками, графиками, приложениями и т.д., достаточно просто её СКАЧАТЬ.



Мы выполняем любые темы
экономические
гуманитарные
юридические
технические
Закажите сейчас
Лучшие работы
 Учет финансовых инвестиций
 Правоотношения: понятие, предпосылки, объекты, субъекты
Ваши отзывы
Спасибо, все получил. С вами работать просто одно удовольствие, отдельное спасибо за оперативность. Не первый и не последний раз к вам обращаюсь... Кстати, рекомендую Вас всем своим одногруппникам.
Стормовцев Василий

Copyright © www.refbank.ru 2005-2017
Все права на представленные на сайте материалы принадлежат www.refbank.ru.
Перепечатка, копирование материалов без разрешения администрации сайта запрещено.