|
|
Вершины, уравнение линии, уравнение гиперболы, уравнение плоскостиЗадание 7 Даны вершины A(X1;Y1), B(X2;Y2), C(X3;Y3) треугольника АВС. Требуется найти: а) уравнение стороны АС б) уравнение высоты, проведенной из вершины В в) длину высоты, проведенной из вершины А г) величина (в радианах) угла В д) уравнение биссектрисы угла В. А (20; 5), В (-4; 12) С (-8; 9) а) уравнение стороны АС. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А (х1; y1) и С (х3; у3) имеет вид: А (20; 5), С (-8; 9) б) уравнение высоты, проведённой из вершины В. Чтобы получить уравнение высоты, проведённой из вершины В необходимо найти уравнение прямой, проходящей через точку В (-4; 12) и перпендикулярной прямой, проходящей через точки А и С, которая имеет уравнение . Найдём угловой коэффициент данной прямой , тогда, согласно условию перпендикулярности кривых, выраженному через угловые коэффициенты, угловой коэффициент искомой прямой имеем равным k2 = -7. Следовательно, искомое уравнение имеет вид: у - 12 =-7(х - (-4)) у - 12 = -7х - 28 у + 7х - 12 + 28 = 0 у + 7х + 16 = 0 в) Длина высоты, проведённой из вершины А есть расстояние от точки А (20; 5) до прямой, проходящей через точки В и С. Уравнение прямой, содержащей точки В (-4; 12) и С (-8; 9) равно: Расстояние d от А (20; 5) до прямой вычисляем по формуле: г) Угол при вершине В образован прямыми (проходящей через точки ВС) и прямой, проходящей через точки А (20; 5) и В (-4; 12), уравнение которой: Откуда: д) Биссектриса угла B делит противолежащую сторону треугольника АС на части, пропорциональные длинам прилежащих сторон треугольника в точке М. Следовательно: Так как то Вычисляем координаты точки М: Биссектриса угла В проходит через точки Задание 17 Составить уравнение линии, сумма расстояния точек которой от точек А(2;4) и В(-4;4) равна 8. Решение: Из условия следует, что для любой точки М (х ; у) искомого множества справедливо соотношение Так как Задание 27 Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно координатных осей, с фокусами на оси ОХ, если расстояние между директрисами равно 32/5, а мнимая ось равна 6. Решение: Уравнение гиперболы с фокусами, лежащими на оси Ох, имеет вид: Здесь а - длина действительной полуоси, равна половине расстояния между директрисами, то есть ; в - длина мнимой полуоси, Откуда: Задание 37 Даны вершины A1(X1;Y1;Z1), A2 (X2;Y2;Z2), A3 (X3;Y3;Z3), A4 (X4;Y4;Z4). Средствами векторной алгебры найти: а) длину ребра A1 A2 б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A3 в) площадь грани А1А2А3 г) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины А4 д) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А4 е) объем пирамиды А1А2А3 А4. A1(2;-1;9), A2 (1;1;5), A3 (7;3;1), A4 (2;6;-2). Решение: а) Длина ребра А1А2 равна длине вектора б) Угол между ребрами А1 А2 и А1А3 равен углу, образованному векторами Величина угла: в) Площадь грани А1А2А3 равна половине площади параллелограмма, образованного векторами и Численно площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения Откуда: Площадь грани: кв.ед. г) Длина высоты пирамиды является расстоянием от точки А4 до плоскости, которой принадлежат точки А1, А2, А3. Найдем уравнение плоскости: нормальный вектор ; относительно точки А1 находим ; уравнение плоскости Проверяем: для А2(1;1;5); для А3(7;3;1); Пусть - расстояние от точки А доданной плоскости. Вектор коллинеарен вектору , поэтому . Обозначим координаты точки В через . Найдем . Далее следует: . Используем формулу расстояния между двумя точками: . Так как точка В должна принадлежать плоскости: Длина высоты: д) Уравнение высоты пирамиды, проходящей через точки и имеет вид е) Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту: куб. ед. Задание 47 Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые: и . Решение: а) Уравнение плоскости в общем виде имеет вид: А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0, где Х(х,у,z) и X0(x0,y0,z0) - произвольные точки плоскости; А,В,С - координаты вектора Пусть М1 и М2 - произвольные точки, принадлежащие данным параллельным прямым. Поэтому искомая плоскость проходит через координаты перпендикулярного плоскости вектора =(А;В;С), который называется нормальным вектором плоскости. Поэтому задача сводится к нахождению вектора . Так как искомая плоскость проходит через точки М1 и М2, то, в качестве ее нормального вектора =(А;В;С) можно взять вектор, перпендикулярный векторам и =(2;3;-3). Известно, что векторное произведение двух векторов есть вектор, перпендикулярный векторам - сомножителям; поэтому =*. б) Найдем координаты =*, точек М1(x0,y0,z0) и М2(х,у,z), полагая: х0=1 и х=2. Из уравнений данных прямых получаем М1(1;8;-10) и М2(2;0;-2). в) Найдем вектор : =(x-x0;y-y0;z-z0)=(1;-8;8). г) Найдем вектор : =*==-+=(24-24)- (16+3)+(3+16)= -19+19, т. е. А=0; В=-19; С=19. д) Подставим полученные значения в формулу уравнения плоскости: 0(х-1) - 19(у-8) + 19(z+10) = 0 -19у + 152 + 19z + 190 = 0 -19у + 19z + 342 = 0 -19(y-z-18) = 0 y-z-18 = 0 Ответ: уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые: и , имеет вид y-z-18 = 0. 10 11 Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками, графиками, приложениями и т.д., достаточно просто её СКАЧАТЬ.  |
|
Банк готовых работ
Форма заказа
Скачать работу
экономические  Copyright © refbank.ru 2005-2024
Все права на представленные на сайте материалы принадлежат refbank.ru. Перепечатка, копирование материалов без разрешения администрации сайта запрещено. |
|