|
|
Система линейных уравнений, область определения функции, пределы функции, производные данных функций, графики функцийЗадача 1. Дана система линейных уравнений: Доказать совместность системы и решить ее двумя способами: с помощью формул Крамера; методом Гаусса. Решение: Согласно теореме система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Для доказательства совместности данной системы найдем ранг расширенной матрицы методом приведения и ступенчатому виду. Исходная матрица: Умножая первую строку на - 2/3 и прибавляя ее ко второй и третьей строке получим матрицу: Умножим вторую строку матрицы на 1/5 и прибавить ее к третьей строке, получим матрицу ступенчатого вида: с) Следовательно ранг исходной матрицы равен 3. Проделов те же действия с расширенной матрицей, получим ступенчатую матрицу: ранг которой так же равен 3 Следовательно система совместна. Определитель системы: Дополнительные определители: По формуле Крамера МЕТОД ГАУССА Считаем коэффициент 3 при x1 в первом уравнении системы ведущим и разделив на него все члены первого уравнения будем иметь приведенное уравнение: Для исключения x1 из второго и третьего уравнения системы, умножим приведенное уравнение на коэффициент при x1 в этих уравнениях и полученные уравнения вычтем из уравнений 2 и 3. Таким образом, получаем укороченную систему: Ведущим коэффициентом в этой системе будет 12/3 при х2 . Приведенное уравнение: Исключаем х2 из второго уравнения укороченной системы: Отсюда Подставляем его значение во второе приведенное уравнение и находим х2: Аналогично из первого приведенного уравнения находим: . Задача 2. Найти область определения функции . Решение: Так как на ноль делить нельзя, то Корни квадратного уравнения Таким образом функция определена Задача 3. Найти пределы функций: Решение: Задача 4. Найти производные данных функций: Решение: Обозначим: , тогда Задача 5. Исследовать функции и построить их графики: Решение: Исследуем функцию . 1. Область существования функции интервал . Функция всюду непрерывна. Исследуем функцию на максимум и минимум. Находим первую производную: Действительные корни производной Находим вторую производную В точке х1=1 - имеем точку минимума. В точке х2 =-1 - имеем точку максимума. 4. Определим области возрастания и убывания функции При - функция возрастает; - функция убывает; - функция возрастает. 5. Определим точки перегиба и области выпуклости и вогнутости кривой т.к. y = 6x то y < 0 при x < 0 , т.е. при x < 0 кривая выпуклая; y > 0 при x > 0 - кривая вогнутая; y = 0 при x = 0 - точка перегиба; 6. Определим асимптоты кривой Вертикальных асимптот нет т.к. ни при каком конечном значении х функция не стремится к бесконечности. Наклонных асимптот так же нет, так как не существует предела . Рис. 1. График функции . б) Исследуем функцию . 1. Область существования функции интервал и 1 < x < . В точке x = 1 функция не существует, то есть терпит разрыв. Исследуем функцию на максимум и минимум. Находим первую производную: . Критическая точка x = 1. В этой точке функция не существует, следовательно она не имеет экстремумов. Определим области возрастания и убывания функции. y всегда меньше нуля, следовательно функция всегда убывает. 5. Определим области выпуклости и вогнутости кривой т.к. y = 4/(x - 1) то y < 0 при x < 1 , т.е. при x < 1 кривая выпуклая; y > 0 при x > 1 - кривая вогнутая. 6. Определим асимптоты кривой Кривая имеет вертикальную асимптоту x = 1, т.к. y ? ?? при x ??0. При x ? ?? y ? 2 . Следовательно y = 2 - горизонтальная асимптота кривой. Рис. 2. График функции y = 2x / (x - 1) . 0 8 Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками, графиками, приложениями и т.д., достаточно просто её СКАЧАТЬ.  |
|
Банк готовых работ
Форма заказа
Скачать работу
экономические  Copyright © refbank.ru 2005-2024
Все права на представленные на сайте материалы принадлежат refbank.ru. Перепечатка, копирование материалов без разрешения администрации сайта запрещено. |
|