|
|
Пределы, функция, частные производные, дифференциальное исчисление, графики, неопределенные интегралы, объем телаВариант 7 Контрольная работа №2 Задание 57 Найти указанные пределы (не используя правило Лопиталя): а) ; б) ; в) ; г) ; д) 2x. Решение: а) При х>? числитель и знаменатель - величины бесконечно большие и мы имеем неопределенность ?/?, поэтому разделим числитель и знаменатель на х: = = = = . Ответ: = . б) = = = = ?. Ответ: = ?. в) . При х имеем неопределенность , поэтому умножим числитель и знаменатель на сопряженные им множители: = = = = = = = . Ответ: = . г) = , применяя эквивалентность sin2x ? x2, получаем: = 2. Ответ: = 2. д) 2x = = = ; воспользуемся разложением функции ln(1 + y) в ряд: ln(1 + y) = у - Тогда искомый предел равен: = = 12. Ответ: 2x = 12. Задание 67 Функция y = f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции: y = . Решение: Все три подфункции непрерывны на своих областях, следовательно, возможные точки разрыва - это: x1 = 0 и x2 = . Для проверки воспользуемся условием: = = у(хо). а) для x1 = 0: = = 1, = cos2x = 1, y(0) = cos(2·0) = 1, следовательно в т. x = 0 функция у(х) непрерывна. б) для x2 = : , , из этого уже видно, что в т. х = функция разрывна. Построим график функции y = : Задание 77 Найти производные: а) у = ; б) у = е(3sin2x-3cos2x); в) у = (2+ln sin3x); г) у = (9х2 + 4)arctg3x; д) е- е -3х + = 1. Решение: а) у = . у? = = = = . Ответ: у? = . б) у = е(3sin2x-3cos2x); у? = (3еsin2x - 3 еcos2x)? = 18 еcos2x + 18 еsin2x = =18 е( sin2x + cos2x). Ответ: у? = 18е( sin2x + cos2x). в) у = (2+ln sin3x); у? = ((2+ln sin3x))? = 2(2+ln sin3x)( 2+ln sin3x)? = = (4 + 2ln sin3x)(ln sin3x)? = = = (12 + 6 ln sin3x)ctg3x. Ответ: у? = (12 + 6 ln sin3x)ctg3x. г) у = (9х2 + 4)arctg3x; у? = ((9х2 + 4)arctg3x)? = (9х2 arctg3x + 4 arctg3x)? = = 18х arctg3x + 9х2 + 4 = = 18х arctg3x + . Ответ: у? = 18х arctg3x + . д) е- е -3х + = 1. Продифференцируем это уравнение по х: е = 0 е·2·3у2·у - e-3x·(-3) + = 0 6y2 еy + 3e-3x + = 0; y (6y2 е + ) = ; y = = . Ответ: у = . Задание 87 Найти и для функции, заданной параметрически: Решение: = = = ; Для нахождения найдем , , и : = , = = , = , = = . Итак, = = . Ответ: = ; = . Задание 97 Исследовать методами дифференциального исчисления и построить графики функций: а) у = х2 + х3 - ; б) у = ln x - x2 . Решение: а) у = х2 + х3 - ; D(y) = R На D(y) функция непрерывна и график не имеет точек разрыва; функция ни четная, ни нечетная Пересечение с осями координат: х = 0 у = 0; у = 0 х1 = и х2 = Исследование на экстремумы: у? = 2х + х2 - х3 = 0 х1 = -1; х2 = 0; х3 = 2 (-1;) и (2; ) - точки максимума функции, а (0;0) - точка минимума Промежутки выпуклости: у?? = 2 + 2х - 3х2 = 0 х1 = и х2 = Значит, х1 = и х2 = - абсциссы точек перегиба. 6) Асимптот нет. 7) График имеет следующий вид: б) у = ln x - x2; D(y)>0, из=за присутствия в выражении ln x На D(y) функция непрерывна и график не имеет точек разрыва; функция ни четная, ни нечетная C осями координат пересечений нет Исследование на экстремумы: у? = = 0 х1,2 = ±1, с учетом D(y) остается х = 1 (1; -0,5) - точка максимума Промежутки выпуклости: у?? = -, у?? всегда меньше нуля, поэтому график функции везде выпуклый вверх и не имеет точек перегиба Найдем значения функции на краях ОДЗ: , , т.к. х2 - бесконечно большая величина более высшего порядка, чем бесконечно большая ln x График имеет следующий вид: Задание 107 Найти частные производные функции: z = . Решение: Требуется найти частные производные и : а) = = ()? = = ; б) = = = = = . Ответ: = ; = . Контрольная работа №3 Задание 117 Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием: а) ; б) ; в) . Решение: а) = . Введем замену y = tgx - 1: = = + C = 2 + C = 2 + C. Проверка: (2) = (tgx - 1) = , что соответствует исходному подынтегральному выражению, значит, интеграл найден верно. Ответ: = 2 + C. б) . Преобразуем предварительно трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы квадратов: 3x2 - 2x + 2 = 3(x2 - x + ) = 3(x2 - 2·x + + ) = = 3. Таким образом, исходный интеграл приобретает вид: , а это - табличный интеграл; применяя соответствующую формулу, получаем arctg + C. Проверка: = = = = , что соответствует исходному подынтегральному выражению, значит, интеграл найден верно. Ответ: = arctg + C. в) . Воспользуемся методом интегрирования по частям: = - = - = = - ctgx ln cosx + = - ctgx ln cosx + = = - ctgx ln cosx + = - ctgx ln cosx - x + C. Проверка: (- ctgx ln cosx - x) = -(ctgx)·ln cosx - ctg x(ln cosx) - 1 = = = = = , что соответствует исходному подынтегральному выражению, значит, интеграл найден верно. Ответ: = - ctgx ln cosx - x + C. Задание 127 Найти неопределенные интегралы: а) ; б) ; в) . Решение: а) = . Найдем разложение подынтегральной функции в виде: = ; х2 = А(х + 1)2 + В(х - 1)(х + 1) + С(х - 1) = = Ах2 + 2Ах + А + Вх2 - В + Сх - С. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х: : . Таким образом, наш интеграл сводится к сумме трех интегралов: = = = ln |x-1| + ln |x+1| - = = ln (|x-1|·|x+1|3) + + C = ln |x-1| + ln |x+1| + + C. Ответ: = ln |x-1| + ln |x+1| + + C. б) . Применим метод замены переменной: введем замену у = х = у6; dx = 6у5 dy. Тогда: = = = = 6 = 6 = 6(у - arctg y) + C = = 6( - arctg ) + C. Ответ: = 6( - arctg ) + C. в) . Применим метод интегрирования по частям: = = - = = - = -= = - = - = = - = -. Мы получили равенство: = - 3 = - = -. Ответ: = -. Задание 137 Криволинейная трапеция, ограниченная линиями: у = е-х, у = 0, х = 0, х = 1, вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем тела, которое при этом образуется. Решение: 1) Выполним построение: 2) Пределы интегрирования а = 0 и b = 1. Найдем объем тела вращения: Vт.в. = ? = ? = ? = ? куб. ед. Ответ: объем тела, которое образуется при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у = е-х, у = 0, х = 0, х = 1, равен ? куб. ед. Задание 147 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: . Решение: Т.к. 0 ? х ? 1, то = ¦х¦= х, = . Если интеграл сходится, то: = = = = = ln1 - = - - это предел расходится, значит исходный интеграл также расходится. Ответ: несобственный интеграл расходится. Контрольная работа №4 Задание 157 Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения: xy = . Решение: у = = , отсюда следует, что уравнение является однородным. Делаем замену у = tx: tx + t = + t, tx = . Рассмотрим два случая: а) t1 или t-1 являются решениями уравнения y = x и y = -x; б) t±1: ; ; = ln + C; t + = C1x; + = C1x; y + = C1x2; y2 - x2 = (C1x2 - y)2; y2 - x2 = C12x4 - 2C1x2y + y2; y = = ; y = + Cx2. Ответ: общим решением дифференциального уравнения xy = является Задание 167 Найти частное решение дифференциального уравнения у + ру + qy = f(x), удовлетворяющего начальным условиям у(0) = у0; y(0) = у0: у + у = 2cosx, у(0) = 1, у(0) = 0. Решение: 1) Находим характеристическое уравнение: r2 + 1 = 0, r1,2 = ± i. Следовательно, общее решение однородного уравнения у" + у = 0 будет: у = С1cosx + C2sinx. 2) Ищем частное решение исходного уравнения в виде: у* = х (Аcosx + Bsinx); y* = Аcosx + Bsinx + x(-Аsinx + Bcosx) y*" = - Аsinx + Bcosx + (-Аsinx + Bcosx) + x(Аcosx - Bsinx) = = (-2A - Bx)sinx + (2B - Ax)cosx. 3) Подставляем в исходное уравнение: (-2A - Bx)sinx + (2B - Ax)cosx + Axcosx + Bxsinx = 2cosx Приравниваем коэффициенты: , следовательно, частное решение имеет вид у = х sinx. 4) Таким образом, общее решение исходного уравнения принимает вид: у = С1cosx + C2sinx + x sinx, y(0) = C1 = 1, y(0) = -C1sin0 + C2cos0 + sin0 + 0·cos0 = C2 = 0. Итак, у = cosx + x sinx. Ответ: частное решение дифференциального уравнения у + у = 2cosx, удовлетворяющего начальным условиям у(0) = 1, у(0) = 0, имеет вид у = х sinx, а общее - у = cosx + x sinx. Задание 177 Найти область сходимости ряда степенного: . Решение: 1) = х Рассмотрим полученный ряд, заменив в нем х2 на Z: . Радиус сходимости Rz этого степенного ряда равен пределу отношения , где an - коэффициенты при Zn: Rz = = = 1. Следовательно, радиус сходимости исходного ряда Rx = = 1, т.е. при -1 2) При х = 1: . Этот ряд сходится, т.к. , а ряд сходится, т.к. . При х = -1 ряд также сходится. Ответ: областью сходимости степенного ряда является отрезок -1 . Задание 187 Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и почленно интегрируя этот ряд: . Решение: Ответ: значение определенного интеграла равно 0,608. 1 1 Работа на этой странице представлена для Вашего ознакомления в текстовом (сокращенном) виде. Для того, чтобы получить полностью оформленную работу в формате Word, со всеми сносками, таблицами, рисунками, графиками, приложениями и т.д., достаточно просто её СКАЧАТЬ.  |
|
Банк готовых работ
Форма заказа
Скачать работу
экономические  Copyright © refbank.ru 2005-2024
Все права на представленные на сайте материалы принадлежат refbank.ru. Перепечатка, копирование материалов без разрешения администрации сайта запрещено. |
|